Storia, formalismo e insegnamento: i numeri reali

Abstract

π = 3,14, vero o no? Vero, o almeno così risponderebbe una parte di quei grandi e piccini che hanno incontrato questo simbolo a scuola. Altri magari direbbero che non è vero, perché in realtà ha infinite cifre dopo la virgola. In effetti, π è un numero reale irrazionale, come per esempio anche sqrt(2) , sqrt(3) o phi, il numero aureo. In generale, nonostante siano oggetto di insegnamento a scuola in varie occasioni, studentesse e studenti hanno difficoltà a sviluppare un pieno controllo intuitivo dei numeri irrazionali: in alcuni casi, come le radici, vengono manipolati da studenti e studentesse, ma la definizione intuitiva che essi ne mantengono è in generale legata all’infinità delle cifre dopo la virgola, caratteristica che però non è esclusiva degli irrazionali. Inoltre le rappresentazioni del campo R presentate a scuola sono raramente tra loro connesse in modo chiaro e questo contribuisce al senso di confusione che molti associano ai numeri reali: da un lato intuitivi, dall’altro oscuri e incomprensibili – cosa significa, ad esempio, che la lunghezza di un segmento corrisponde a un numero con infinite cifre? Nei precedenti tre numeri di Archimede, abbiamo parlato di numeri naturali, interi e razionali. In questo articolo, vogliamo estendere ulteriormente il concetto di numero, presentando storicamente, matematicamente e didatticamente una panoramica dei reali. La parte didattica interessa principalmente la scuola secondaria di primo e secondo grado.